Poate fi mâncat în orice moment al zilei!!!

Foarte gustos.

It is a probability distribution over a vector space $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, where $n$ is the number of dimensions. The probability density function (pdf) of a multivariate Gaussian distribution is given by:

\[
p(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
\]

where $\mathbf{x}$ is a $n$-dimensional vector, $\boldsymbol{\mu}$ is the mean vector, $\Sigma$ is the covariance matrix, and $|\Sigma|$ is the determinant of $\Sigma$. The mean vector $\boldsymbol{\mu}$ is a $n$-dimensional vector with elements $\mu_i$ and the covariance matrix $\Sigma$ is a $n \times n$ matrix with elements $\Sigma_{ij}$. The covariance matrix is symmetric and positive definite, and it can be decomposed as $\Sigma = UDU^T$, where $U$ is an orthogonal matrix and $D$ is a diagonal matrix with non-negative diagonal elements. The diagonal elements of $D$ are the eigenvalues of $\Sigma$.

The multivariate Gaussian distribution is defined by the following density function:

\[
p(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
\]

where $\mathbf{x}$ is a $n$-dimensional vector, $\boldsymbol{\mu}$ is the mean vector, $\Sigma$ is the covariance matrix, and $|\Sigma|$ is the determinant of $\Sigma$.

The multivariate Gaussian distribution is a generalization of the univariate Gaussian distribution to higher dimensions. It is defined as follows:

\[
p(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
\]

where $\mathbf{x}$ is a $n$-dimensional vector, $\boldsymbol{\mu}$ is the mean vector, $\Sigma$ is the covariance matrix, and $|\Sigma|$ is the determinant of $\Sigma$. Funcția de densitate de probabilitate a distribuției gaussiene multivariate este dată de:
\begin{equation}
p(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \det(\Sigma)}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right)
\end{equation}
unde $x$ este un vector $k$-dimensional, $\mu$ este vectorul medie, iar $\Sigma$ este matricea de covarianță. Matricea de covarianță este o matrice simetrică definită pozitiv și este generalizarea varianței la dimensiuni superioare. Matricea de covarianță trebuie să fie definită pozitiv, ceea ce înseamnă că toate valorile proprii ale matricei sunt pozitive. Matricea de covarianță $\Sigma$ este simetrică, astfel încât poate fi diagonalizată de o matrice ortogonală $Q$:
\begin{equation}
\Sigma = Q \Lambda Q^T
\end{equation}
unde $\Lambda$ este o matrice diagonală cu valorile proprii ale lui $\Sigma$ pe diagonală. Vectorii proprii ai lui $\Sigma$ sunt numiți componente principale ale lui $X$. Prima componentă principală este vectorul propriu corespunzător celei mai mari valori proprii, a doua componentă principală este vectorul propriu corespunzător celei de-a doua celei mai mari valori proprii, și așa mai departe. Vectorii proprii formează o bază ortogonală pentru spațiul datelor. Valorile proprii reprezintă varianța datelor de-a lungul vectorului propriu corespunzător. Prima componentă principală este direcția datelor cu cea mai mare varianță, a doua componentă principală este direcția cu a doua cea mai mare varianță, și așa mai departe.\\

\subsubsection{PCA pentru reducerea dimensionalității}
PCA poate fi utilizat pentru a reduce dimensionalitatea datelor. Ideea este de a proiecta datele pe un spațiu de dimensiune mai mică, astfel încât datele proiectate să aibă varianța cea mai mare posibilă. Prima componentă principală este direcția în care datele au cea mai mare varianță. A doua componentă principală este direcția ortogonală față de prima componentă principală, în care datele au a doua cea mai mare varianță, și așa mai departe. Primele $k$ componente principale sunt cei $k$ vectori proprii corespunzători celor $k$ cele mai mari valori proprii ale matricei de covarianță.\\

Pentru cazul nostru, vom utiliza PCA pentru a reduce dimensionalitatea datelor la 2 dimensiuni. Vom afișa apoi datele pe un grafic de dispersie 2D. Vom utiliza primele două componente principale ca cele două